La magie des nombres complexes.

[Onneritpas]

LA  MAGIE DES NOMBRES COMPLEXES.
 
Nous allons faire une petite promenade chez les nombres complexes..
Mais ommençons par le commencement :
 

 

 
Tous les nombres complexes sont donc de la forme : z = a + bi où a et n sont des nombres réeles et i, unité imaginaire, est telle que i² = -1.
On écrit souvent par abus de langage i = √(-1) mais cette écriture n’est pas correcte car le signe √ désigne uniquement la racine positive, Or, la notion de nombres positifs ou négatifs n’existe pas chez les nombres complexes.
Mais toutes les opérations dont on dispose sur les nombres réels sont également disponibles avec les nombres complexes.
Soient par deux nombres complcxes z1 e t z2 : z1 = a + bi et z2 =  c +di.
Alors, z1 + z2  = a+ bi +c + di
Donc, z1 + z2 = a+c + (b + d)i d’où  z1 + z2 = A + Bi avec  A = a + c et B = b + d.
On peut aussi multiplier des nombres complexe :
z1z2 = (a + bi)(c + di) Pour effectuer ce calcul n epas oublier que i² = -1.
On peut de même effectuer des divisions des racines carrées (plus délicates)
Toutes les fonctions mathématiques :sinus, cosinus, exponentielles etc. existenrt aussi dans le domaine complexe.
 
Il existe trois façons pour écrire un nombre complexe :
1) Algébrique :  z = a + bi
2) Trigonométrique : z = ρ(cos(θ)+isin(θ))
3) Exponentielle : z = ρe^ix
 
On a donc, en faisant ρ = 1 :  e^ix = cos(θ)+isin(θ)
Donc : e^iπ = cos(π) +i(sin(π)
D’où   e^iπ = -1 +0  d’où enfin : e^iπ +1 = 0 ce qui est la célèbre formule d’Euler que Roger Penrose appelle "La perle des mathématiques".
 
Mais, puisque toutes les fonctions mathématiques  existent aussi chez les nombres complexes, il doit bien exister un résultat pour i élevé à la puissance i ! c’est-à-dire :
iⁱ= ?
Rappelons tout d'abord la formule : a^b = e^blog(a)  (log désigne le logarithme népérien)


On a donc : iⁱ = e^ilog(i) (A)
Il faut donc d'abord calculer log(i).


Calculons : e^iπ/2 = cos(π/2) + isin(π/2) d'où e^iπ/2 = i d'où enfin log(i) = iπ/2
 
En rapportant cette valeur dans (A) on a : iⁱ= e^iilog(i) = e^-π/2
D"où le résultat inattendu par sa simplicité :  iⁱ = e^-π/2  C'est un nombre réel !


                                                                                      iⁱ = 0.2078795764.....

[Frelon]

chouette ta petite démonstration... on en déduit directement que le logarithme de moins un c'est un imaginaire pur...
log(-1)=i π
et que les logarithmes des nombres négatifs existent bien !
log(-x)=log(x)+i π

[Onneritpas]

chouette ta petite démonstration... on en déduit directement que le logarithme de moins un c'est un imaginaire pur...
0,41575915270152381709391123966996*i
au fait ,pourquoi c'est interdit les nombres négatifs dans la fonction log? alors que log(-1)=i PI

Bonjour Frelon,

J'espère que vous avez passé un bon Noël !
Il n'existe effectivement pas de log(x) pour x < 0 dans le corps des réels.
Tout d'abord, le log(x) tend vers moins l'infini lorsque x tend vers 0.
Or, il n'existe évidemment pas de nombres inférieurs à moins l'infini.

J'en profite pour dénoncer l'abus de langage mais admis consistant à écrire i = √(-1). En effet √x désigne exclusivement la racine positive de  √x. Or, dans le corps des complexes, le concept de nombre positif ou négatif n'existe pas. Il s'ensuit qu'on ne peut comparer des nombres complexes.
On doit plutôt écrire : i = -1^1/2  et tout rentre dans l'ordre si on se souvient que a^b  est égal à e^blog(a) .
Donc  -1^1/2 = e^{1/2log(-1) et on se souvient que log(-1) = iπ}
_{d'où -1}^1/2 _{= e}^iπ/2 = cos(π/2) + isin(π/2) = i     et retombe bien sir nos pieds !


Cordialement.


P.S. Je constate que tu as rectifié ta petite distraction ! Je me sens moins seul !
Au delà des nombres complexes existent les nombres hypercomplexes.
Les premiers a avoir été découverts sont les quaternions d'Hamilton (Dans un espace à quatre dimensions). Mais les quaternions ne sont pas commutatifs. Curieusement, ils s'introduisent naturellement en mécanique quantique avec les "matrices de Pauli" !
Puis sont apparus les "octonions" (dans un espace à huit dimensions)  mais les octonions ne sont ni commutatifs ni associatifs.
Et enfin ont été découverts les "sédénions" (dans un espace à seize dimensions) et qui perdent en plus une troisième propriété.
Il a été démontré qu'il n'existe pas d'hypercomplexes au delà des sédénions. 

[Frelon]

j'ai étudié les quaternions, mais je n'en ai rien retenu... à part leurs noms et le fait qu'ils n'étaient pas commutatifs... La non commutativité c'est trés emmerdant en fait, on ne peut plus rien calculer simplement, il faut se taper les calculs dans l'ordre...on ne peut plus factoriser! bref c'est moche!
PS: on a passé de bonnes fêtes avec notre ancien... qui n'était pas dans la cuisine! Non mais, et puis on a pris la liberté d'être Onze... le risque n'était même pas supérieur au double du risque autorisé par le gouvernement qui était ridiculement faible!
et puis on s'en fou, quand quelqu'un a 2 cancers et la maladie de Charcot, le covid 19 c'est du pipi de chat! il est bien plus important de voir sa famille réunie une dernière fois pour Noël.

[Onneritpas]

j'ai étudié les quaternions, mais je n'en ai rien retenu... à part leurs noms et le fait qu'ils n'étaient pas commutatifs... La non commutativité c'est trés emmerdant en fait, on ne peut plus rien calculer simplement, il faut se taper les calculs dans l'ordre...on ne peut plus factoriser! bref c'est moche!
PS: on a passé de bonnes fêtes avec notre ancien... qui n'était pas dans la cuisine! Non mais, et puis on a pris la liberté d'être Onze... le risque n'était même pas supérieur au double du risque autorisé par le gouvernement qui était ridiculement faible!
et puis on s'en fou, quand quelqu'un a 2 cancers et la maladie de Charcot, le covid 19 c'est du pipi de chat! il est bien plus important de voir sa famille réunie une dernière fois pour Noël.

Cher frelon,
Je partage vos idées et je dis que votre dernière phrase m'a fait de la peine pour vous.
Croyez que je suis de tout coeur avec vous.

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