Question à Esculape

[Frelon]

Bonjour,
j'ai une question de relativité restreinte au sujet des trous noirs...

Dans le cas d'un trou noir se déplaçant à une vitesse relativiste par rapport à un observateur donné, le rayon de Schwarzschild du trou noir est il fonction de la vitesse du trou noir par rapport à cet observateur?

En effet, la masse du trou noir est fonction du rapport gamma qui est fonction de la vitesse du trou noir par rapport à l'observateur et comme le rayon de Schwarzschild d'un trou noir est fonction de la masse du trou noir il semblerait que la réponse à l'énoncé de ma question est oui...
Qu'en pensez vous?

[Frelon]

Bonjour, je ne pensais pas poser une question piège à Esculape.
Je voulais simplement être sûr des prémices d'un raisonnement plus élaboré que j'ai fait et pour cela je voulais avoir l'avis d'un spécialiste de la relativité restreinte .
Je pensais que la réponse pouvait être donnée en quelques heures.
A moins qu'Esculape n'aie pas vu mon message...

[Esculape]

Bonjour,
j'ai une question de relativité restreinte au sujet des trous noirs...

Dans le cas d'un trou noir se déplaçant à une vitesse relativiste par rapport à un observateur donné, le rayon de Schwarzschild du trou noir est il fonction de la vitesse du trou noir par rapport à cet observateur?

En effet, la masse du trou noir est fonction du rapport gamma qui est fonction de la vitesse du trou noir par rapport à l'observateur et comme le rayon de Schwarzschild d'un trou noir est fonction de la masse du trou noir il semblerait que la réponse à l'énoncé de ma question est oui...
Qu'en pensez vous?

Bonjour, Frelon,
Le rayon de Schwarzschild d'un trou noir a la dimension d'une longueur (au sens de l'analyse dimensionnelle) mais est en rapport, non avec le trou noir lui même mais avec son "horizon des événements". On peut donc le considérer  comme invariant.
La réponse complète, et donc non simplifiée, demanderait un développement théorique faisant appel à la Relativité générale, ce qui est évidemment inenvisageable ici.
Mais je peux ajouter ceci: Cette question n'a de sens que dans le cas d'un trou noir de 
Schwarzschild, or il est fort probable que ce genre de trou noir n'existe pas car il s'agit d'un trou noir non en rotation.
Un tel trou noir hypothétique n'a servi au départ qu'à l'étude mathématique la plus simple de la métrique d'un trou noir.
Mais la conclusion reste valable dans le cas d'un trou noir de Kerr, donc en rotation et chargé ou non.
Amicalement.

P.S. Je n'ai pas du tout envisagé une question piège venant de vous, mais ce week-end j'ai été pris par une réunion familiale.

[Ferdinand de Talmont]

moi j'aurais dit non, après ça peut aussi dépendre du sens du vent je pense

[Esculape]

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Variation d’une  masse m en fonction de sa vitesse v en relativité.
 
La théorie de la relativité restreinte nous apprends que le temps t’ et la masse m0 d’un corps se déplaçant à la vitesse v par rapport à un observateur  au repos  dans un repère inertiel de temps t sont données par les formules que voici, accompagnées  d’exemples d’application de ces deux formules :




 
On voit bien qu’un  corps voit sa masse augmenter vraiment qu’à de très grandes vitesses non accessibles aux astres y compris les trous noirs.


Vitesse exacte de la lumière: 299792.458 km/s


NB. J'avais fait ce calcul pour un vaisseau spatial, mais il s'applique évidemment aussi à tout corps massif tel qu'un astre ! 

[Frelon]

moi j'aurais dit non, après ça peut aussi dépendre du sens du vent je pense

et tu aurais eu raison... dommage qu'Esculape aie répondu juste avant toi...

[Esculape]

moi j'aurais dit non, après ça peut aussi dépendre du sens du vent je pense

et tu aurais eu raison... dommage qu'Esculape aie répondu juste avant toi...

Tout dépend si, dans ce contexte qui n'est pas du vent, le "vent" a un sens  !

[Esculape]

La formule donnant le rayon r de Schwarzschild est : r = 2GM/c²  où G est la constante de gravitation universelle de Newton, M la mase du corps et c la vitesse de la lumière.
Mais peut-être vous êtes vous posé la question : Comment savoir si r représente  bien une longueur et non une autre chose ?
La réponse est dans l'emploi de ce que l'on appelle : "L'analyse dimensionnelle".
Si ce sujet vous intéresse, je l'expliquerai en détail. Ce n'est vraiment pas difficile !

[Frelon]

je te remercie Esculape, j'ai eu ma réponse le rayon de Schwarzschild d'un trou noir est indépendant de sa vitesse...
Je te posais la question car je me demandais si une particule trés relativiste comme un ion d'uranium pouvait devenir un trou noir lui même... En effet, un ion lourd (atome sans son cortège électronique) à une densité proche de celle d'une étoile à neutron et je me demandais si un facteur 40 sur la masse comme tu l'as calculé pour un véhicule spatial à 299700km/s pouvait faire basculer la densité de cet ion lourd vers un trou noir?
Mais apparemment ce n'est pas possible dû au fait qu'on peut considérer le rayon de  Schwarzschild  comme un invariant... Affirmation que cependant, tu m'as donné sans preuve.

[Esculape]

je te remercie Esculape, j'ai eu ma réponse le rayon de Schwarzschild d'un trou noir est indépendant de sa vitesse...
Je te posais la question car je me demandais si une particule trés relativiste comme un ion d'uranium pouvait devenir un trou noir lui même... En effet, un ion lourd (atome sans son cortège électronique) à une densité proche de celle d'une étoile à neutron et je me demandais si un facteur 40 sur la masse comme tu l'as calculé pour un véhicule spatial à 299700km/s pouvait faire basculer la densité de cet ion lourd vers un trou noir?
Mais apparemment ce n'est pas possible dû au fait qu'on peut considérer le rayon de  Schwarzschild  comme un invariant... Affirmation que cependant, tu m'as donné sans preuve.

J'ai quand même pris la précaution de prévenir que la théorie des trous noirs passe par un raisonnement très compliqué  car faisant appel à la théorie de la Relativité générale, je dis bien la THEORIE et non une vulgarisation. Cette théorie fait appel à "l'analyse tensorielle" et à la connaissance de l'espace de Riemann qui demandent préalablement de longues études en mathématiques et je n'y peux hélas rien.
Mais j'ai fait un abus de langage en citant le mot "invariant". Je voulais dire seulement que la masse d'un trou noir ne peut augmenter avec sa vitesse qui reste bien en deçà d'une vitesse relativiste ! Mais cette masse augmente évidemment si le trou noir est alimenté par la matière d'une étoile proche.
Amicalement.

NB. Juste pour donner une idée: Métrique de Schwarzschild — Wikipédia (wikipedia.org)

[Frelon]

Mais j'ai fait un abus de langage en citant le mot "invariant". Je voulais dire seulement que la masse d'un trou noir ne peut augmenter avec sa vitesse qui reste bien en deçà d'une vitesse relativiste !

Bonjour, malheureusement ce que tu viens de dire est faux. En effet, lors de l'absorption d'un trou noir par un autre il est courant que la vitesse de rotation du plus petit trou noir autour du plus gros soit de l'ordre de 40% de la vitesse de la lumière. Or cette vitesse est déjà relativiste. Et augmente la masse de 10%...qu'advient-il alors de la distance d'absorption totale de lumière de ce dernier?

[Esculape]

Mais j'ai fait un abus de langage en citant le mot "invariant". Je voulais dire seulement que la masse d'un trou noir ne peut augmenter avec sa vitesse qui reste bien en deçà d'une vitesse relativiste !

Bonjour, malheureusement ce que tu viens de dire est faux. En effet, lors de l'absorption d'un trou noir par un autre il est courant que la vitesse de rotation du plus petit trou noir autour du plus gros soit de l'ordre de 40% de la vitesse de la lumière. Or cette vitesse est déjà relativiste. Et augmente la masse de 10%...qu'advient-il alors de la distance d'absorption totale de lumière de ce dernier?

Non, pas faux ! Incomplet !
Je n'ai envisagé que le cas le plus fréquent d'une vitesse de translation et ce que j'ai dit est juste.
Pour ce qui concerne un trou noir en rotation autour d'un autre et dont la vitesse de rotation atteint 40% de celle de la lumière, l'effet relativiste (approximatif car nous ne sommes plus dans un repère inertiel*) est faible : Une tonne devient égale à 1.09108...
mais je conviens que l'augmentation de masse, quoique faible, n'est pas nulle.

Je ne comprends pas votre dernière phrase.

* Dans ce cas , c'est à la Relativité générale qu'il faut faire appel, et le calcul est complexe. Je ne suis pas sûr de pouvoir encore le mener à bien, mes neurone renâcleraient je crois ! 
Mais je vais quand même m'y coller.

P.S. Je répète que les trous noirs de Schwarzschild sont des trous noirs théoriques qui n'existent pas car  statiques. Seuls existent les trous noirs d de Kerr, chargés ou non et dont la mathématique est bien plus compliquée que celle des trous noirs statiques.
Voir : Trou noir de Kerr — Wikipédia (wikipedia.org)
Voir dans ce document "l'ergosphère"

[Esculape]

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ANALYSE DIMENSUINNELLE
 
EQUATION AUX DIMENSIONS.
 
Une équation aux dimensions est une représentation codifiée d’une relation mathématique en physique.
Elle sert à vérifier si une telle relation est équilibrée par rapport au signe  égal.
Soit par exemple la relation e = (1/2)gt² bien connue.
A gauche e est une distance et il doit donc en être de même pour le membre de droite, sans quoi, la formule ne serait pas équilibrée donc fausse.
Voyons donc de quoi il s’agit.
 
On désigne toute longueur par le symbole L. Ainsi, on dira que la dimension d’une d’une surface est L², celle d’un volume est L³.
Le temps a pour symbole T. Une vitesse a donc  pour  dimension : LT^-1 (quotient d’une longueur par un temps). Avec T^-1 = 1/T et plus généralement : T^-n =  1/Tⁿ
La masse a pour symbole M.
 
Il suit de ce qui précède que :
Une accélération a pour dimension LT^-2
Une énergie (1/2)mv²) a pour dimension ML²T^-2 (on ignore les constantes en les expressions de dimensions).
 
Vérifions si la formule de la chute des corps, qui donne une distane, donc une longueur, e = (1/2)gt² est équilibrée.
On à gauche du signe égal : L
On doit donc trouver L aussi à droite, sinon la formule ne serait pas correcte faute d’être équilibrée.
L’équation aux dimensions du membre de droite est : LT^-2T² = L
Ne pas oublier que g est une accélération.
 
Donc son équation aux dimensions nous indique que cette formule est correcte.
 
Voici donc l’essentiel de l’analyse dimensionnelle.




Petit exercice si le coeur vous en dit : 
Voulez vous vérifier que r est vraiment une longueur dans la formule de Schwarzschild : r = 2GM/c²
Indication :
Dimension de G : M^-1L³T^-2
 
 
Pour aller plus loin :
II. Homogénéité. Équations aux dimensions - Claude Giménès (claude-gimenes.fr)

[Frelon]

Je ne comprends pas votre dernière phrase.

bonjour, sur une petite portion de la trajectoire du trou noir qui tourne autour du plus gros (je peux la choisir aussi petite que je veux et peux confondre la trajectoire réelle avec sa tangente)
Auquel cas je me ramène pendant un trés court moment non pas à un problème de relativité générale mais à un problème de relativité restreinte et nous sommes d'accord tous les deux que la masse du dit trou noir a augmenté de 10% ou plus exactement de 9,108% comme vous avez cru bon de me corriger.
Ainsi sur cette courte trajectoire que je considère comme un segment de droite, je me pose alors la question du Rayon de Schwarzschild du dit trou noir d'une masse augmenté de 9,108% en employant la formule r= 2G(M*1,09108)/c²
ceci implique une augmentation de la taille de la zone autour de laquelle la lumière reste prisonnière du trou noir...
J'espère, cette fois ci, avoir été plus clair.

[Esculape]

Je ne comprends pas votre dernière phrase.

bonjour, sur une petite portion de la trajectoire du trou noir qui tourne autour du plus gros (je peux la choisir aussi petite que je veux et peux confondre la trajectoire réelle avec sa tangente)
Auquel cas je me ramène pendant un trés court moment non pas à un problème de relativité générale mais à un problème de relativité restreinte et nous sommes d'accord tous les deux que la masse du dit trou noir a augmenté de 10% ou plus exactement  de 9,108% comme vous avez cru bon de me corriger.
Ainsi sur cette courte trajectoire que je considère comme un segment de droite, je me pose alors la question du Rayon de Schwarzschild du dit trou noir d'une masse augmenté de 9,108% en employant la formule r= 2G(M*1,09108)/c²
ceci implique une augmentation de la taille de la zone autour de laquelle la lumière reste prisonnière du trou noir...
J'espère, cette fois ci, avoir été plus clair.

Eh bien, nous sommes d'accord !
Cela dit, je n'ai jamais eu l'idée de vous corriger ! J'ai simplement fait le calcul sans l'arrondir, c'est tout ! Pas l'ombre d'une malice dans mes décimales  !
C'est un plaisir d'échanger avec vous.
Amicalement.

P.S. Formellement, il faudrait faire une correction, peut-être peu importante, due au fait que très près du trou noir attractif il faudrait tenir compte de l'entrée de l'autre dans son ergosphère.
C'est ce que je suis en train de tenter de calculer, (avec l'aide du bouquin de Subrahmanian Chandrasekhar intitulé "The mathematical theory of black holes")  mais cela m'apparaît très compliqué. Je n'ai plus 30 ans !

[Esculape]

Bonjour Frelon,
A propos de l'ergosphère dont l'existence a été découverte par le célèbre physicien John Archibald Wheeler.
Cette ergosphère existe dans les trous noirs en rotation (Trous noirs de Kerr).
C'est une zone située dans l'horizon des événements d'un trou noir. Cette zone possède des propriétés intéressantes parmi lesquelles le fait qu'un corps s'y trouvant ne peut absolument pas rester immobile car il s'y déplacerait en même temps que l'espace-temps  entrainé par la rotation du corps noir (effet Lens-Thirring que la sonde "gravity probe" a pu mettre en évidence autour de la Terre aussi).
C'est grâce aussi à cette ergosphère que Roger Penrose, prix Nobel de physique et ancien directeur de thèse de Stephen Hawking a découvert ce que l'on appelle le "processus de Penrose montrant qu'il serait possible d'extraire de l'énergie d'un trou noir. 
Amicalement
 
P.S. Pour l’effet Lens-Thirring, voir : Gravity Probe B — Wikipédia (wikipedia.org)

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